Mengenal Bilangan Berpangkat Matematika

Bilangan Berpangkat

A. Definisi

Bilangan berpangkat adalah bilangan yang berfungsi untuk menyederhanakan penulisan dan penyebutan suatu bilangan yang memiliki faktor-faktor atau angka-angka perkalian yang sama.

B. Cara Penulisan

Contohnya, operasi penghitungan 2x2x2x2x2 atau 8x8x8x8x8 yang penulisannya bisa disederhanakan dengan menggunakan pangkat.

Untuk mengubah suatu bilangan menjadi bilangan berpangkat, maka dibutuhkan rumus berupa aⁿ = a x a x a x a x… sebanyak n kali. dalam rumus ini, 'a' adalah bilangan pokok, sedangkan 'n' adalah pangkat atau eksponen.

Sehingga dari rumus ini, diketahui bahwa 2x2x2x2x2 dapat diubah menjadi bilangan berpangkat yaitu 2⁵ = 32.

Selain bilangan positif, bilangan negatif juga bisa dipangkatkan. Namun perlu diingat, kalau bilangan negatif dipangkat dengan bilangan ganjil, maka hasilnya akan negatif.

Kalau bilangan negatif dipangkat dengan bilangan genap, maka hasilnya adalah bilangan positif.

Contohnya adalah (-2)⁶ = -2 x -2 x -2 x -2 x -2 x -2 = 64.

Ada juga bilangan berpangkat -2⁶ = -64. Mengapa hasilnya minus, padahal memiliki angka yang sama seperti sebelumnya, ya?

Ternyata ini disebabkan karena penghitungannya yang berbeda, yaitu -2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Angka yang minus hanya satu, sehingga saat dikalikan dengan bilangan positif lainnya menjadi minus.

Secara sederhana penulisan bilangan jenis ini adalah sebagai berikut : an = a x a x a x…..x a

Perkalian berbagai bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas pada umumnya disebuat dengan perkalian berulang.

Bayangkan apabila yang dikalikan angkanya sangat banyak, maka kita juga akan mengelami kesulitan di dalam dalam penulisannya.

Hal tersebut tak lain sebab sangking banyaknya angka untuk satu kali bilangan pada perkalian tersebut.

Masing-masing perkalian berulang bisa kita tuliskan secara ringkas dengan memakai notasi angka bilangan berpangkat.

Sebagai contoh:

3 x 3 x 3 x 3 x 3 bilangan tersebut bisa kita ringkas kembali dengan memakai bilangan berpangkat menjadi 35

8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 dan angka tersebut bisa kita ringkas kembali hingga menjadi bilangan berpangkat 810

Cara membacanya:

35: Sepuluh pangkat 5

 810 : Delapan pangkat 10

Pangkat di atas berguna untuk menentukan jumlah faktor yang di ulang.

Perhatikan juga sifat-sifat bilangan berpangkat di bawah ini.

sifat bilangan berpangkat

 

Bilangan yang memiliki pangkat di dalam matematika terdiri dari: bilangan dengan pangkat bulat positif (bilangan asli), pangkat bulat negatif, pangkat nol, pangkat rasional dan pangkat riil. Notasi pangkat digunakan untuk menuliskan hasil kali suatu bilangan berulang dalam bentuk yang lebih sederhana. Seperti misalnya, kita memiliki tiga faktor a yang sama, sehingga dapat menggunakan lambang a³ untuk menyatakan (a x a x a), dengan 3 dituliskan di sebelah kanan atas a yang dinamakan pangkat dari a dan menyatakan banyaknya faktor a yang terulang, dapat ditulis a³ = a x a x a

 C. Contoh-Contoh Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat yang paling sering dibahas antara lain bilangan berpangkat positif, bilangan berpangkat negatif dan bilangan berpangkat nol. Agar lebih jelas, kita bahas satu per satu pengertian dan sifat-sifat dari ketiga bilangan berpangkat itu.

 Bilangan Berpangkat Positif

Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yang mempunyai pangkat/eksponen positif. Bilangan berpangkat positif memiliki sifat-sifat tertentu, di mana terdiri dari a, b, bilangan real m, n, yang merupakan bilangan bulat positif. Sifat-sifat bilangan berpangkat positif sebagai berikut:

Berikut merupakan contoh soal dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat positif :

Jawab:

 

Bilangan Berpangkat Negatif

Tidak semua bilangan berpangkat bernilai positif, beberapa pangkat adalah bilangan bulat negatif.

Tadi, kita telah berkenalan dengan bilangan berpangkat bulat positif beserta sifat-sifatnya. Dengannya, kita bisa lho, mengetahui definisi dari bilangan berpangkat bulat negatif. Ini dia penjabarannya:

Dengan begini, kamu tidak perlu bingung melakukan pemangkatan meskipun eksponennya berupa bilangan negatif,

 

Bilangan Berpangkat Nol

Selain bilangan berpangkat positif dan bilangan negatif, dalam matematika juga ada bilangan berpangkat nol. Sebelumnya kita sudah mengetahui bahwa . Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat positif dapat diperoleh . Sehingga sifat untuk bilangan berpangkat nol adalah:

Jika a bilangan riil dan a tidak sama dengan 0, maka

Kenapa bilangan berpangkat nol hasilnya satu???

Perhatikan rumus berikut:

a⁰ = 1

0ᵃ = 0

Keterangan Simbol:

a = Angka

Dari rumus yang telah disediakan diatas, kita bisa menarik kesimpulan bahwa semua bilangan yang dipangkatkan dengan 0 akan berjumlah 1. Dan 0 yang dipangkatkan dengan bilangan apapun, hasilnya akan tetap 0. Mengapa demikian?

Dari gambar diatas, kita dapat melihat sebuah pola. Semakin turun angka pangkatnya, maka bilangan tersebut akan terus dibagi oleh 2. Makanya dari atas kebawah angkanya makin mengecil kan, guys? Begitulah bagaimana a⁰ hasilnya bisa 1.

Selain menganalisis pola, ada cara lain untuk membuktikan a⁰ = 1.

Perhatikan lagi nih sifat-sifat eksponen berikut:

Dengan demikian, kita bisa mengubah:

 20 = 23-3 

sehingga 

23/23 = 1

 

Berarti kalau 0⁰  hasilnya sudah pasti 1 dong?

Merujuk pada sifat yang sebelumnya telah kita bahas, coba deh kita hitung:

0⁰  = 0⁵⁻⁵ —> 0⁵/0⁵

Berarti challenge kita adalah membagi 0 dengan 0 juga? Hmm.. dalam matematika, ada gak sih aturan membagi dengan 0? Jawabannya: Ada!

Bilangan APAPUN jika dibagi dengan 0, maka hasilnya akan menjadi: Tidak Terdefinisi

Maka, hasil dari 0⁰  = Tidak Terdefinisi.

Jadi untuk menjawab pertanyaan, “Apakah semua bilangan pangkat nol hasilnya 1?”

Jawabnnya adalah: Iya dengan SYARAT bilangan tersebut bukan angka 0.